Calculo das características geométricas do grão

Grão Bates

O grão tipo bates não tem uma área de combustão constante, mas quase constante. Para se atingir esse comportamento existe um comprimento de segmento ideal para dada combinação de raios externo e do núcleo como demonstrado por Nakka, (2). O valor instantâneo da área de combustão no grão tipo bates é dado por: 

Onde N é número de segmentos, r_e e r_i são os raios externo e do núcleo respectivamente e L_seg é o comprimento de um segmento unitário, conforme a Figura 23.

Figura 23 - Geometria de um segmento de um grão do tipo Bates

O raio do núcleo e o comprimento do segmento variam em função do tempo por:

Onde x é a regressão da superfície de combustão em função do tempo e os subscritos zero indicam o valor inicial do comprimento e do raio. A curva dessa área em função do tempo tem um pico, um valor máximo. Esse valor é importante, pois é o pico de pressão em motores com essa configuração. Para se saber valor máximo de uma função deve-se igualar sua derivada a zero, portanto:

Resolvendo para :

Para se obter o valor máximo da área de combustão deve-se resolver x e substituir na Equação 11 e Equação 12 aplicando estas na Equação 10. Os valores, inicial e final da área, podem ser diferentes e são influenciados pelo comprimento do segmento. Para se ter uma curva simétrica, ou seja, ter os valores, inicial e final, iguais deve-se ajustar o valor do comprimento do segmento do grão até se ajustarem o valor inicial e final da área de combustão de modo que equilibre a Equação 15, que relaciona a área inicial e final de combustão. Pode-se desejar uma curva assimétrica, como o caso de materiais da câmara sensíveis a fluência, por exemplo, onde uma área de combustão, logo a pressão, menor ao fim é desejável. 

A curva da área, portanto, já tem seu máximo conhecido e é simétrica. A diferença entre as áreas inicial ou final e o pico de máxima, a inclinação da curva, é influenciada pela razão entre os raios interno e externo iniciais, sendo uma reta quando essa relação é igual a um. Se o raio do núcleo for igual ao raio externo, não existe propelente, portanto não existe uma configuração bates que tenha a área de queima constante, ela sempre será uma curva com um valor de máxima. Ajusta-se o raio do núcelo até se atingir o tempo de combustão projetado, desde que o pico de pressão seja contabilizado. Posteriormente se ajusta o comprimento do segmento de grão para se atingir o comportamento desejado, simétrico, crescente ou decrescente.

Em projetos de motores o valor do raio externo é limitado pelo diâmetro do corpo, o comprimento do segmento é uma função do raio externo e interno e do comportamento desejado. O raio interno, que vai definir a espessura do grão e a área de passagem dos gases A_P deve ser escolhido de modo a evitar a queima erosiva. O tempo de combustão t_B é uma função que depende da taxa de combustão, r, e da espessura do grão e_G. 

Onde, no Bates:

Um tempo de combustão maior resulta em um Impulso Total maior, mas diminui a área de passagem dos gases. Essa área é limitada pela queima erosiva que pode acontecer caso os gases estejam a velocidades muito altas dentro do grão. Esse efeito é evitado pela escolha correta da relação entre a área de passagem e a área da garganta da tubeira. Para a maioria dos propelentes uma área de passagem com área maior ou igual a duas vezes a área da garganta é suficiente, como visto no artigo Taxa de Combustão . Para evitar a queima erosiva, portanto: 

No bates a área de passagem A_P é dada por:

Nakka, (2), recentemente fez experimentos em torno da distância entre os segmentos do grão Bates, Em seus estudos os grãos com pouca folga entre os segmentos apresentaram uma curva de combustão muito diferente da projetada, sendo que os que apresentavam maior folga tinham uma curva muito próxima da projetada. A comparação dos resultados pode ser vista na Figura 24.

Figura 24 - Comportamento do motor em função da folga entre os segmentos.  Nakka, (2).

Nakka concluiu que a combustão não acontece de forma eficiente nas extremidades dos grãos muito próximos. Portanto, é uma boa prática de projeto considerar uma boa folga entre os grãos. Neste trabalho será usada uma relação com o raio do núcleo, sendo o espaço entre os segmentos igual a este raio.