A vazão mássica, ou fluxo de massa, pode ser expresso em função da área de combustão, A_B, a densidade do propelente e a taxa de combustão, que é a velocidade em que o propelente é consumido na direção normal de sua superfície de combustão, logo:

A taxa de combustão r é obtida por ensaios, como discutida na subseção 3.5, e a densidade do propelente ρ_P é conhecida por sua formulação. Para se projetar o empuxo deve se escolher a taxa de combustão, uma função que dependente da pressão de projeto, e uma geometria de grão cuidadosamente projetada para prover a área de queima A_B desejada. Em adição a escolha de formato do grão é possível controlar as superfícies expostas à combustão por meio de inibidores. Estes são compostos que são inertes ou resistentes as chamas e são aplicados às superfícies onde se deseja que a combustão não aconteça. Quando um inibidor é colocado na área externa do grão, entre o propelente e a parede do corpo ele também fornece um isolamento térmico e nesse caso é conhecido como forro, do inglês liner. Para propelentes amadores, de baixa eficiência como os Kn-Açucares e KN-Epóxi, um material útil e barato como inibidor é cartolina ou outros papéis de alta gramatura. Na Figura 16 pode-se observar uma variedade de geometrias de grão e a influência na curva empuxo-tempo.

Figura 16 - Seções de geometria de grão e seus efeitos no comportamento do motor.

O grão pode estar livre dentro do corpo ou fixado por algum tipo de estrutura, também pode ser colado às paredes internas do corpo, configuração conhecida como case-bonded. Em um motor desta configuração devem-se usar propelentes com certa capacidade elástica para que não exista o risco de fratura no grão devido a cargas térmicas. O que poderia levar um aumento não planejado da área de combustão levando ao aumento súbito da pressão e possibilidade de explosão catastrófica.

De acordo com a NASA, (9) :

“... O projeto do grão é o que define as características de performance que podem ser obtidas, dados uma determinada combinação de propelente e tubeira.”

O efeito da geometria do grão na curva empuxo-tempo é dado pela Equação 4 onde o empuxo depende diretamente da vazão mássica e esta é diretamente proporcional á área de combustão e velocidade de queima. A área de combustão em qualquer ponto regride no sentido perpendicular a sua superfície, fazendo com essa área varie ao longo do tempo dependendo diretamente da geometria inicial e configuração de inibidores. Esse conceito importante é demonstrado na Figura 17, onde as linhas sucessivas de contorno mostram a superfície de combustão evoluindo ao longo do tempo. Como pode ser visto na figura, o grão com núcleo em formato de estrela apresenta uma curva praticamente constante, ou seja, existe uma pequena variação da área de combustão ao longo do tempo.

A área de combustão constante ao longo do tempo é desejável porque isso leva a uma melhor eficiência em se tratando do impulso total, já que a tubeira é projetada para ter máxima eficiência a uma determinada pressão da câmara de combustão e logo um determinado fluxo de massa, Sutton, (8) e Shapiro, (11) . O grão com núcleo estrela, mostrado na Figura 17, é de difícil fabricação, já que exige um molde de formato complexo.

Figura 17 - Regressão da frente de chama em um grão de núcleo estrela, NASA, (9).

Uma configuração típica com área de queima praticamente constante é a Bates, da Figura 18. O grão é constituído de segmentos cilíndricos com núcleo circular e apenas a área externa inibida. A combinação das extremidades e núcleos expostos à combustão e a escolha correta da relação comprimento e diâmetro de grão leva a uma regressão da frente de chama de tal forma que a área varia muito pouco, tornando a área de combustão quase constante ao longo do tempo.

Figura 18 - Grão Bates. Nakka, (2).

Uma das principais vantagens desse tipo de grão é sua simplicidade de produção, mas apresenta baixa eficiência volumétrica (volume de propelente em relação ao volume da câmara) também conhecida por Fração de Carga Volumétrica. Por causa das extremidades expostas em cada segmento existe necessidade de um forro para isolamento térmico das paredes do corpo do motor caso este use um material sensível à fluência, como o alumínio. Um caso de falha com essas características pode ser visto na Figura 19.

Figura 19 - Corpo de um motor com configuração Bates, onde o inibidor externo falhou causando o comprometimento do forro seguido de falha por fluência. Nakka, (2) .

Existem dois formatos de grão em particular que exibem uma relação área de queima-tempo teoricamente constante. O mais simples é o grão cilíndrico com núcleo circular com suas extremidades inibidas e superfícies externas e internas expostas, chamado neste trabalho de Grão Livre, Figura 20. A área de queima é mantida constante, pois à medida que o núcleo tem seu raio incrementado o externo vai regredindo, e o aumento da área interna é compensado pela diminuição da externa. Esse grão não é recomendado para motores em materiais sensíveis a fluência, por ter um fluxo de gases entre o grão e a parede do corpo. Mas tem boa eficiência volumétrica e facilidade de produção. Em geral a câmara possui paredes isoladas termicamente quando essa geometria é aplicada.

Figura 20 - Grão livre

O mesmo efeito, de área teoricamente constante, também acontece e grãos do tipo barra e tubo da Figura 21. Este grão tem duas partes, a externa é um grão cilíndrico de núcleo circular com a área externa e extremidades inibidas, o interno é uma barra redonda com suas extremidades inibidas. Estas duas partes são posicionadas concentricamente e à medida que a área do grão tubo aumenta, a da barra diminui, tendo como resultado uma área teoricamente constante. Esse propelente, apesar da manufatura um pouco mais complexa, oferece muitas vantagens. A principal delas é a eficiência volumétrica e o fato de o próprio grão externo oferecer uma boa resistência térmica, o tornado um excelente candidato para case-bonding, como sugerido por Nakka, (2) , NASA, (9) e U.S. Army Missile Command, (7) . É a configuração usada pelo motor do míssil ar-ar Hellfire, visto na Figura 22.

Figura 21 - Grão Barra e Tubo do motor MK508 do autor

Figura 22 - Motor foguete do missel Hellfire com sua configuração Barra e Tubo, Wikipedia, (20) .

Essa configuração, porém, exige um propelente com boas características mecânicas. Não é recomendado, por exemplo, para propelentes com base em açucares por sua fragilidade.

Densidade e eficiência densiométrica do propelente

A densidade é um dos fatores diretamente proporcionais à vazão, pela lei da conservação de massa os produtos da combustão devem possuir a mesma massa do propelente consumido.  Para se definir a densidade ideal de uma mistura devem-se conhecer as densidades de cada um de seus constituintes e a sua fração em massa na mistura. A fração de massa de cada constituinte é dada por:

A densidade ideal da mistura é dada pela relação:

Onde os sob escritos representam à fração de massa e a densidade dos componentes individuais. Um propelente dificilmente atingirá a sua densidade ideal e sua eficiência, a razão entre a densidade real e a ideal, esta na faixa de 96% a 98% de acordo com Nakka, (2) , e NASA, (9) . Para se calcular a densidade real deve-se conhecer a massa e o volume real do grão. Assim sendo, temos:

Para a eficiência de densidade:

A densidade é muito importante para se saber a qualidade da produção do propelente principalmente por ser um método fácil para se identificar a existência de porosidade, bolhas. A porosidade pode levar a um aumento não previsto da taxa de combustão, aumentando a pressão e a possibilidade de uma falha catastrófica.

Capacidade de enchimento, ε.

A capacidade de enchimento é um fator importante de desempenho, ela diz o quanto de volume da câmara é ocupado pelo propelente. É a eficiência volumétrica do motor e também um indicador de desempenho. De acordo com a NASA, no documento Solid propellant grain design and internal ballistics, (9), a capacidade de enchimento é definida por: 

Calculo das características geométricas do grão

Grão Bates

O grão tipo bates não tem uma área de combustão constante, mas quase constante. Para se atingir esse comportamento existe um comprimento de segmento ideal para dada combinação de raios externo e do núcleo como demonstrado por Nakka, (2). O valor instantâneo da área de combustão no grão tipo bates é dado por: 

Onde N é número de segmentos, r_e e r_i são os raios externo e do núcleo respectivamente e L_seg é o comprimento de um segmento unitário, conforme a Figura 23.

Figura 23 - Geometria de um segmento de um grão do tipo Bates

O raio do núcleo e o comprimento do segmento variam em função do tempo por:

Onde x é a regressão da superfície de combustão em função do tempo e os subscritos zero indicam o valor inicial do comprimento e do raio. A curva dessa área em função do tempo tem um pico, um valor máximo. Esse valor é importante, pois é o pico de pressão em motores com essa configuração. Para se saber valor máximo de uma função deve-se igualar sua derivada a zero, portanto:

Resolvendo para :

Para se obter o valor máximo da área de combustão deve-se resolver x e substituir na Equação 11 e Equação 12 aplicando estas na Equação 10. Os valores, inicial e final da área, podem ser diferentes e são influenciados pelo comprimento do segmento. Para se ter uma curva simétrica, ou seja, ter os valores, inicial e final, iguais deve-se ajustar o valor do comprimento do segmento do grão até se ajustarem o valor inicial e final da área de combustão de modo que equilibre a Equação 15, que relaciona a área inicial e final de combustão. Pode-se desejar uma curva assimétrica, como o caso de materiais da câmara sensíveis a fluência, por exemplo, onde uma área de combustão, logo a pressão, menor ao fim é desejável. 

A curva da área, portanto, já tem seu máximo conhecido e é simétrica. A diferença entre as áreas inicial ou final e o pico de máxima, a inclinação da curva, é influenciada pela razão entre os raios interno e externo iniciais, sendo uma reta quando essa relação é igual a um. Se o raio do núcleo for igual ao raio externo, não existe propelente, portanto não existe uma configuração bates que tenha a área de queima constante, ela sempre será uma curva com um valor de máxima. Ajusta-se o raio do núcelo até se atingir o tempo de combustão projetado, desde que o pico de pressão seja contabilizado. Posteriormente se ajusta o comprimento do segmento de grão para se atingir o comportamento desejado, simétrico, crescente ou decrescente.

Em projetos de motores o valor do raio externo é limitado pelo diâmetro do corpo, o comprimento do segmento é uma função do raio externo e interno e do comportamento desejado. O raio interno, que vai definir a espessura do grão e a área de passagem dos gases A_P deve ser escolhido de modo a evitar a queima erosiva. O tempo de combustão t_B é uma função que depende da taxa de combustão, r, e da espessura do grão e_G. 

Onde, no Bates:

Um tempo de combustão maior resulta em um Impulso Total maior, mas diminui a área de passagem dos gases. Essa área é limitada pela queima erosiva que pode acontecer caso os gases estejam a velocidades muito altas dentro do grão. Esse efeito é evitado pela escolha correta da relação entre a área de passagem e a área da garganta da tubeira. Para a maioria dos propelentes uma área de passagem com área maior ou igual a duas vezes a área da garganta é suficiente, como visto no artigo Taxa de Combustão . Para evitar a queima erosiva, portanto: 

No bates a área de passagem A_P é dada por:

Nakka, (2), recentemente fez experimentos em torno da distância entre os segmentos do grão Bates, Em seus estudos os grãos com pouca folga entre os segmentos apresentaram uma curva de combustão muito diferente da projetada, sendo que os que apresentavam maior folga tinham uma curva muito próxima da projetada. A comparação dos resultados pode ser vista na Figura 24.

Figura 24 - Comportamento do motor em função da folga entre os segmentos.  Nakka, (2).

Nakka concluiu que a combustão não acontece de forma eficiente nas extremidades dos grãos muito próximos. Portanto, é uma boa prática de projeto considerar uma boa folga entre os grãos. Neste trabalho será usada uma relação com o raio do núcleo, sendo o espaço entre os segmentos igual a este raio.

Grão Livre

O grão livre apresenta uma área de queima teoricamente constante, já que as regressões do raio externo e interno se dão na mesma velocidade e as extremidades são inibidas. No Grão Livre a única restrição geométrica do grão é o raio externo, este tem um valor máximo limitado pelo tamanho de seu ignitor. Se usar uma área de passagem duas vezes maior que a área da garganta como sugerido e dividir-se essa área de passagem igualmente entre o núcleo e a área de passagem externa seria obtido um raio externo muito próximo da parede do forro, seria difícil iniciar a combustão na parte externa do grão. Geralmente, apenas a área de passagem externa já representa espaço suficiente para se evitar a queima erosiva. A geometria e as principais dimensões de um grão tipo livre são mostradas na Figura 28.

Figura 25 - Geometria de um grão do tipo Livre

Portanto o raio externo deve ser definido antes, seguido da complementação da área de passagem pela área do núcleo, se necessário. Portanto, área de Passagem é dada por:

Sendo r_i,tubo o raio interno da câmara, r_e o raio externo do grão livre, limitado pelo raio interno da câmara e pela espessura do ignitor e r_i o raio do núcleo. As demais características geométricas do grão livre são listadas a seguir. 

Área de Combustão:

Espessura do grão:

Volume: 

Grão Barra e tubo

Para que a taxa de variação das duas áreas (interna do tubo e externa da barra, como detalhado na Figura 26) se anulem e a área se mantenha virtualmente constante é necessário que as espessuras de grão na barra e no tubo sejam iguais, portanto: 

Figura 26 - Geometria de um grão Barra e Tubo.

A partir dessa restrição geométrica as demais características desse tipo de grão podem ser obtidas.

Área de passagem: 

Área de combustão:

Espessura do grão: 

Volume do grão: